使用用户自定义表面真实建模衍射式人工晶状体透镜

Zemax OpticStudio

白内障手术是当今最常见的外科手术之一，在该手术中，患者的晶状体由于光散射增加而变得浑浊，从而使用人工晶状体（IOL）将其取代。随着白内障人群越来趋于越年轻化，对优质镜片的需求不断增长，以提高实现的图像质量并解决无需眼镜聚焦的问题需求。衍射 IOL 通过同时创建多个焦点来提供近距离和远距离的清晰视觉，从而提供了一种可行的解决方案。在本文中我们演示了如何通过使用用户自定义表面（UDS）DLL来扩展 Zemax OpticStudio 的功能，以提供衍射式人工晶状体透镜的真实模型。最后，我们还将讨论应用了区域分解模型相对于使用内置衍射表面类型的序列分解方法的优势。

作者：Csilla Timar-Fulep 合作翻译：光谱时代-余德洋

文章附件

用户自定义曲面 DLL 的 C++ 源代码可以通过 Code Exchange 下载：

DLL (User-Defined Surface): Relief-Type Diffractive Surface

简介

随着白内障患者的需求不断增加，人工晶状体制造商投入更多的时间和资源到高级镜片的研究和精密设计中。为了在很宽的物体距离范围内提供良好的图像质量，最终的目标是再现原始晶状体的调节能力。用人造元件直接模仿人眼的自然过程面临着多重挑战，因此这仍然是一个尚未解决的问题。然而，衍射人工晶状体可以同时为多个观察距离提供一个易于使用的解决方案。本文展示了如何使用光线追迹和衍射分析来实现基于真实表面形状的浮雕型衍射透镜的真实模型，并展示了该模型在全面评估系统性方面的优势。

基本设计理念

衍射级次分解

OpticStudio序列模式下的内置衍射表面模型依赖于衍射级次分解，在此方法中需要选择单个衍射级次，然后衍射光焦度(Diffractive Power)由额外的相位贡献代表，与折射率和表面矢高无关。使用这种方法，衍射级次的传播可以通过从物体到图像的光线或通过出射瞳孔的标量衍射来建模。这种方法提供了分析单个衍射级次的简单解决方案，对于使用单个目标衍射级次的应用特别有益。使用此方法设计衍射人工晶状体的工作原理和应用示例在以下知识库文章中进行了详细讨论：

OpticStudio中如何建模衍射表面
 使用衍射表面建模人工晶状体透镜

然而，上述分解模型中存在一些不足。首先，由于相位函数只是对经过基底折射或反射表面的光线施加额外的弯曲/相位，因此该模型不考虑通过衍射元件的真实光线路径，因此忽略了波长色散以及某些其它像差。此外，这种表面模型没有考虑衍射效率。因此，我们必须创建一个多重结构系统来逐个模拟不同的衍射级次的效应。

区域分解

相反，使用区域分解方式，我们可以一次准确地考虑多个衍射级次的效应，并且该方法通过模拟衍射元件的实际形状来固有地考虑波长色散和衍射效率。这使得创建先进的 IOL 建模成为可能，其中不同的衍射级次旨在为多个观看距离提供清晰的视野，从而取代人眼。

区域分解模型假设衍射元件的区域宽度远大于波长，并且光学特性在区域内表现平滑。在这种情况下，几何光学近似和光线追迹可用于描述从衍射表面的一侧到另一侧的传播。这也意味着这些区域在近场中可以被视为传统的折射/反射光学元件，而在远场光分布中只能通过标量衍射分析来计算。

在 OpticStudio 中，PSF 计算实现了这一精确过程，其中光线追迹通过系统执行，此外还考虑了从出瞳到像平面的一步近似衍射分析。由于通过衍射元件的相位变化是基于几何光学计算的，因此当衍射表面位于出瞳或其共轭位置之一（入瞳或孔径光阑）时，区域分解最适合的。

人工晶状体设计和仿真是一个经典案例，它符合上述标准，因为植入的人工晶状体通常放置在瞳孔之后，瞳孔是眼睛的孔径光阑。根据通常的做法，当忽略孔径光阑和出瞳之间的菲涅尔衍射时，可以使用区域分解来有效地模拟衍射 IOL。

使用 UDS DLL 建模衍射表面

为了利用上述区域分解方法，我们建立了一个新的用户自定义表面 DLL，其中可以通过分析描述浮雕型衍射表面的矢高轮廓。除了精确分析衍射光学元件 (DOEs) 的性能外，使用 UDS DLL 的参数化模型表示还可以对这些衍射表面进行优化和公差分析。有关如何使用自定义 DLL 扩展 OpticStudio 的功能以及如何编译新解决方案的更多详细信息，请参阅以下文章：

OpticStudio中自定义DLLS：用户自定义表面、对象和其它DLL类型类型的概述

如何编译用户自定义DLL

在使用序列表面 DLL 时，OpticStudio 有 10 种不同的方式与 DLL 交互和交换数据。这些方案表示常规信息、参数名称和安全数据传输，以及布局图、近轴和实际光线追迹计算。不同的功能是在 DLL 的不同情况下定义的。

在这个模型中，我们应用了一个简单的旋转对称衍射结构，具有统一的浮雕特征结构高度，添加在代表基底的标准表面顶部。为了能够与内置的 OpticStudio 解决方案进行模拟比较，我们用偶次非球面多项式描述了浮雕形状。因此，表面矢高由以下公式给出：

$$z=z_{subs}+z_{DOE}=\dfrac{cr^2}{1+\sqrt{1-(1+k)c^2r^2}}+mod(a_1r^2+a_2r^4+a_3r^6+a_4r^8+a_5r^{10},h)$$

在上式中，mod 表示模量函数，c 是曲率即半径的倒数，k 是圆锥常数，r 是径向坐标，h 是统一的浮雕特征结构高度。

a₁是偶次非球面多项式的系数、h 步高和传播算法指示器首先在 DLL 的 case 1 中定义参数列标题名称。然后，case 3 描述基于上述公式的表面矢高，以便在布局图中绘制。case 4 应该考虑近轴光线追迹的结果，但由于区域分解方法需要在光线追迹之上进行衍射分析，该方法仅适用于实际光线追迹，因此我们忽略了这一步。这意味着在近轴近似中，我们的模型表现为标准曲面。最后，case 5 计算实际光线追迹结果。为此，我们实现了两个解决方案，一种近似解析算法和一种迭代算法，这将在下面将进行讨论。

光线传播算法

在复杂表面形状的情况下，无法通过分析确定光线-表面相交坐标，因此对于标准表面以外的内置表面类型，OpticStudio 应该使用迭代算法来查找数值解。这也可以是用户自定义 DLL 的一种方法。然而，由于迭代方法的计算效率低于直接计算，除了通常应用的迭代解决方案外，我们还实现了基于局部线性化的近似闭型解决方案[1，5]。

在后一种替代算法中，我们分别处理基板矢高和额外的浮雕高度。首先，我们确定与基板准确的光线相交坐标 (x₀,y₀,z₀)，这可以通过光线分析来完成，因为基板具有标准表面形状。然后，作为下一步，我们根据局部浮雕高度 (Δz=z_DOE(x₀,y₀)) 和给定位置的斜率 (x₀, y₀, z₀+Δz) 来估计光线与浮雕结构的交点。估计与切平面的交点 (x，y，z) 可以通过求解线性方程再次解析计算。这种直接近似计算可以比默认迭代方法快 30%，而且不会在结果中引起任何重大错误。该过程如下图所示。

在人眼模型中模拟 IOL 性能

双焦点 IOL 设计

为了证明新的衍射表面 DLL 的适用性和优势，我们基于文献[1]实现了一个理想的衍射透镜模型，该模型在设计波长处将光均匀地分布到零阶和一阶衍射级次（虽然这两个级次的功率相等，但施加的衍射面也会将一小部分能量发送到更高阶）。根据人工晶状体的 ISO 标准，我们将主要波长设置为 e 线，即 λ₀=546.07nm。人工晶状体设计为基本光焦度 P₀=22.5 D，衍射加法为 Padd=3.5 D。我们使用折射率为 n=1.4625 的模型材料求解对透镜材料 Benz25 进行建模，而周围的介质天然盐水则通过折射率为 n₀=1.3343 的模型材料求解来描述。

为了获得理想的透镜，其中第一衍射级次聚焦在 EFL 的距离上，相对于球面高斯参考波前，在区域 j 和 j+1 边界处的光程差必须为 jλ，其几何上可以表示为下面的方程：

$$\sqrt{r_j^2+EFL^2}-EFL=j\lambda$$

这意味着区域边界位于以下位置：

$$r_j^2=2\cdot EFL\cdot j\lambda+(j\lambda)^2$$

由于 EFL>>λ，我们可以忽略后半部分并应用以下近似值：

$$r_j^2 \approx 2\cdot EFL \cdot j\lambda$$

因此，增加衍射面的光路以实现上述光路 r_j区域边缘和产生 100% 一阶衍射效率，如下：

$$\Delta OPL=n\cdot mod(\dfrac{r^2}{2EFL},\lambda)$$

为了实现零阶和一阶相等的衍射效率，还必须考虑恒定 α=0.5 倍增因子。因此，理想的双焦点衍射人工晶状体的表面矢高可以描述为：

$$z_{DOE}(r)=mod(\dfrac{\alpha n \cdot r^2}{2EFL(n-n_0)}, \dfrac{\alpha \lambda_0}{n-n_0})$$

基于此，在镜头数据编辑器中，我们将 2^nd阶多项式系数设置为 a₁=αn/2EFL(n-n₀)=6.82E-3，步高 h=αλ₀/(n-n₀)=2.13E-3mm。如此可显示衍射轮廓的矢高增量，即去除了基本半径的表面矢高图，如下图所示：

最后，通过使用透镜制造方程计算透镜基底的基底半径，假设对称双凸透镜具有 1.0 mm 的厚度和 P0=22.5 D 的基底光焦度。这导致半径为 11.353 mm。透镜前表面的圆锥系数设置为 k=0，背面的圆锥系数经过优化，以实现零阶衍射级次的衍射极限性能，得到 k=-5.8 的值。

用于生产线测试的 ISO 标准人眼模型

为了验证人工晶状体模型，我们将衍射 UDS DLL 结合进入入 ISO 11979-2 的标准人眼模型，该模型专为生产线测试眼科植入物的光学特性而设计[2]。人眼模型包含一个几乎无像差的角膜，然后将人工晶状体放置在两个平板玻璃窗口表示的液体介质中：

使用快速对焦工具优化系统的后焦距，以获得最小的 RMS 波前差，从而在零阶和一阶焦点之间得到成像位置。这也证明了在光线追迹基础之上，还需要标量衍射分析来正确描述透镜的远场行为。此外，在这个中间位置，波前图清楚地显示了相邻区域之间的半波差，这与理论预期一致。

当考虑衍射效应时，例如通过 FFT PSF 或 MTF 计算，则所有衍射级次都在单个结构中被精确建模，并且衍射效率本质上是由模型的性质考虑的。FFT Through Focus MTF 分析的结果在50 lp/mm 频率下如下所示。零级和一阶焦平面的 0.34 峰值衍射效率接近理论值。

与内置衍射表面模型比较

为了将新的实际 UDS DLL 模型与 OpticStudio 中内置的衍射表面模型进行比较，我们创建了一个多重结构系统，其中我们使用 Binary 2 衍射表面类型来描述不同级次的相加法。对应于前面讨论的相同理想双焦点透镜的相位曲线可以用以下公式描述：

$$\Phi(r)=mod(\dfrac{\pi P_{add} \cdot r^2}{\lambda_0}, 2\pi)$$

为了进一步参考，下面的知识库文章详细讨论了衍射元件的矢高和相位轮廓之间的转换，并提供了一个用于计算的 ZPL 宏：

如何使用宏计算衍射光学元件的矢高

该模型包含 5 种结构，对应于 0^th和 1^st的衍射级次使用 Binary 2 的相位表达，0^th和 1^st级次以及基于浮雕的 UDS DLL 模型的中间几何焦点。0^th和 1^st通过基于 Binary 2 模型的最小 RMS 波前误差的优化来确定各级次的焦平面，并在新的 UDS DLL 模型中拾取相同的位置进行分析。

焦平面上的 FFT PSF 结果清楚地表明了级次分解模型和区域分解模型之间的差异。虽然内置的 Binary 2 模型仅考虑所选级次，但 UDS DLL 还考虑了在 PSF 上创建了广泛背景的其他失焦级次。下面在一阶焦点处的 log 尺度图像中可视化了此行为。左侧的伪彩色 FFT PSF 图对应于级次分解模型，而右侧的图显示了区域分解结果。相同 PSF 结果在中间同一行，即 Y=0 的位置，如下所示。

此外，FFT MTF 结果表明，在区域分解模型中准确考虑了衍射效率，而在级次分解模型中则没有。

复色结果

最后，为了证明在区域分解模型中追迹真实光线路径也会考虑透镜中的波长色散，我们分析了可见光谱范围内的系统性能。为了在扩展范围时保持设计波长作为参考，我们通过选择 F’, e, C’ 预设来设置可见光波段。FFT Through Focus MTF 图描述了一阶焦平面（左侧驼峰）如何随着波长的增加而远离零阶焦平面（右侧驼峰）。同时，在较长的波长下，更多的能量被衍射到零阶，而更少的能量被衍射到一阶，正如理论所预期的那样。

结论

在本文中，我们演示了如何使用用户定义表面 DLL 来扩展 OpticStudio 用于模拟浮雕型衍射人工晶状体的功能。由于人工晶状体被植入到瞳孔附近，作为人眼的 STOP，光线追迹和从出瞳到像平面的一步衍射分析可以准确地重建同时衍射成多个数量级的光分布。我们通过在 ISO 标准人眼方案中模拟理想的双焦点人工晶状体设计来测试和验证我们的模型。最后，我们介绍了新的区域分解模型相对于内置的级次分解模型的优势。

参考文献

A . Nemes-Czopf, D. Bercsényi, G. Erdei. Simulation of relief type diffractive lenses in ZEMAX using parametric modelling and scalar diffraction. Applied Optics, 58(32):8931-8942 (2019).
Ophthalmic implants—Intraocular lenses—Part 2: Optical properties and test methods, ISO 11979-2:1999.
A. S. Gutman, I. V. Shchesyuk, V. P. Korolkov. Optical testing of bifocal diffractive-refractive intraocular lenses using Shack-Hartmann wavefront sensor. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 7718 (2010).
T. Eppig, K. Scholz, A. Langenbucher. Assessing the optical performance of multifocal (diffractive) intraocular lenses. Ophthalmic and Physiological Optics, 28:467–474 (2008).
H. Sauer, P. Chavel, G. Erdei. Diffractive optical elements in hybrid lenses: modeling and design by zone decomposition. Applied Optics, 38:6482–6486 (1999).
D. A. Atchison, G. Smith. Optics of the Human Eye. Butterworth-Heinemann, UK (2000).

简介