利用Kogelnik方法模擬體積全像光柵的繞射效率

Zemax OpticStudio

本文介紹了OpticStudio 21.1中新的原生體積全像模擬功能，此功能考慮到全像光柵的物理特性，在序列模式下對其進行全面模擬和分析。同時，也示範使用現有DLL在非序列模式下展示相同的功能。這些分析對於設計虛擬實境（VR）和擴增實境（AR）的頭戴型顯示器（HMD）和抬頭顯示器（HUD）等系統非常重要。本文解釋了模型中使用的理論和參數，並介紹了5個系統範例。

作者 Michael Cheng

範例文件

简介

體積全像在許多類型的光學系統中很受歡迎，例如：抬頭顯示器（HUD）、擴增實境（AR）和虛擬實境（VR）的頭戴式顯示器（HMD）。全像能夠將光線繞射到任何所需的角度，其波長和角度的選擇性使其能夠創造更輕、更緊密的光學系統。

OpticStudio長期以來一直支持理想全像的模擬。然而，為了準確地說明體積全像的特性，除了考慮繞射光線的傳播方向外，還必須考慮繞射效率、材料收縮或折射率變化等因素。考慮繞射效率使用戶能夠進行圖像模擬和綜合優化等高級分析。

表面反射光栅與體積全像光栅的比較

在介紹這個模型之前，我們先簡單解釋一下表面反射光柵（SRG）和體積全像光柵（VHG）的區別。這兩種光柵在光學系統中的作用幾乎是一樣的，但在製造和模擬方面卻有很大的不同。

圖 1. (a) 表面反射光柵 (b) 體積全像光柵

圖1(b)所示的VHG是通過在感光材料薄膜上曝光兩個或多個光束來製造。然後將薄膜進行化學或熱顯影：這就是光柵。光柵上的表面是光滑的，但光柵內部的折射率是正弦調變的。為了對VHG進行建模，需要使用高效的Kogelnik理論或嚴格耦合波分析（RCWA）等算法。
圖1（a）所示的SRG，可以通過幾種方法製造，如電子束寫入，光刻，納米壓印，或鑽石車削。與VHG不同，SRG沒有空間變化的折射率。相反，光柵的表面是由周期性的微結構組成的。為了對SRG進行建模，需要採用類似傅里葉模態法（也叫RCWA）的算法。

本文將介紹VHG的工具。

關於SRG的工具，請參見知識庫文章Simulating diffraction efficiency of surface-relief grating using the RCWA method。

耦合波理論

我們來回顧一下耦合波理論，它主要用於體積全像光柵模型。

考慮一個簡單的情況，即一個法向量n的全像平面被兩個波長相同的平面波照射，沿波向量k₁和k₂的方向傳播。平面波在穿過全像時，首先受到司乃耳定律的折射，在全像內有新的波向量k₁’和k₂’（圖2（a））。然後，光柵向量可由下式定義:

顯影後，當全像被重建平面波k_p照亮時，繞射波k_d，可通過解方程式確定:

其中k_p和k_d是重建波向量和全像感光材料內部的繞射波前（圖2（b））。注意光柵向量K可以從兩個反向方向選擇。方程式(2)的符號約定，假設K的方向選擇滿足K.k_p>0。

圖 2. (a) 兩到建構光束折射到全像材料中 (b) 重建光束折射到體積全像中

現在，我們考慮在全像中，由正弦調變來表示折射率n和α，如方程式（3）。

其中n₀為平均折射率，n₁為折射率的振幅調製，K為光柵向量。

透射和反射全像的繞射波和穿透波的TE(橫向電場)的偏振電場可以用以下4個公式計算。注意，在這個理論中，能量被假設為只在入射波、零階（直射波）和一階繞射波之間交換。若要消除這個限制，需要嚴格耦合波分析理論。

對於TM(橫向磁場)極化，我們可以簡單地將κ替換為κ_TM，如下所示，仍然使用前面的公式。

在錐形繞射的情況下，入射光線不垂直於光柵，偏振特徵態定義如下:

圖3.全像在Kogelnik的耦合波理論中，全像被認為足夠厚，每條入射光線要不是直接以0階通過，不然就是1階繞射，對於反射和透射的全像都是如此。

假設和限制

Kogelnik的耦合波理論與其他理論相比具有優勢，可以準確預測體積相位光柵的零階和一階效率的響應。然而，當厚度較低或折射率調變 (modulation) 較大時，這種準確性可能會降低。因此，有必要討論Kogelnik理論的適用範圍，供使用者參考。

折射率調變: 與平均折射率相比，折射率調變不能太大。換句話說，n1/n << 1，這在大多數實際情況下是正確的。一個參考用的經驗法則是，對於反射全像，n1/n之比不應大於0.16，對於透射全像，n1/n之比不應大於0.06。[2]
厚度: 假設全像是厚的。經驗上，我們是確保以下條件來保證耦合波理論仍然適用:

多階繞射: 這與厚度的限制相同。對於厚的全像，輸入光線的能量將只轉移到直接穿透的0階波或繞射的+1階波上。對於薄的全像，其他繞射階數的效率可能不為零，如-1 -2 +2 -3 +3 ...。這些額外階數不在耦合波理論的考慮中。
多重光柵 (multiplex): 全像中只能同時存在一組光柵。Kogelnik的方法不允許多於一個光柵重疊在一個區域。
雙折射材料: 全像的材料被認為是均向性的。不允許使用雙折射材料。

請注意，這些限制可以通過使用不同的算法來消除。如果您的全像需要破除這些條件，請聯繫 Zemax 技術支援部門了解更多訊息。

膨脹 / 收縮

在本節中，我們將介紹如何考慮全像的膨脹和收縮。

在加工時，全像材料可能會改變其厚度。為了考慮厚度變化的影響，我們首先將光柵向量分成兩個分量，K_∥和K_⊥，其中K_⊥為垂直表面法線，K_∥與表面法線平行。如果厚度從t到t'發生變化，則可以通過修改K_∥計算出新的光柵向量，如方程式（4）。

圖 4. 當全像材料收縮時，厚度從t 減少到 t'。

如何在序列模式下進行設置

I在本節中，我們將介紹如何在序列模式下設置全像。同時也討論了需要注意的事項。要在序列模式下添加體積全像，我們可以使用4個全像表面中的任何一個。Hologram 1、Hologram 2、環形Toroidal Hologram、Optically Fabricated Hologram。各個曲面的體積全像參數的完整細節請參見OpticStudio幫助手冊。在本範例中，我們將使用 Hologram 2 曲面，其參數如下所示。

圖 5. 鏡頭數據編輯器中的Hologram 2 表面參數

在這些參數中，Construct X1、Y1、Z1、X2、Y2、Z2和Construct Wave控制了建構光束的位置和波長。有關這7個參數的更多訊息，請查閱知識庫文章“如何在OpticStudio中建模全息图”.

其他參數的含義如下。

Diffract order: 這個參數只有當表面是一個透射全像時才有效。當它為0時，我們追跡直接穿透的0階，當它為1時，我們追跡繞射的1階。請參閱 "如何在OpticStudio中建模全息图" 來了解如何區分透射和反射全像。請注意，在非序列模式的繞射DLL中沒有這個參數，因為我們同時追跡0階和1階 order。
Volume Hologram: 定義面型是體積還是薄全像。當等於 0 時為 False，如果等於任何非零整數則為 True。這裡我們將它設為 1，因為我們要模擬的是體積全像。
Hologram Thickness: 這是全像材料的厚度。請注意，這個厚度是虛擬的，只用於計算繞射效率。在光線追踪過程中，光線只能看到一個無限薄的表面，就像其他繞射表面一樣。
n1 & n2: 兩個參數是建構光束進入全像之前所處材料的折射率。n1代表建構光束1，n2代表建構光束2。請查看下面的章節以獲得更多關於這兩個參數的說明。
n: 全像材料的平均折射率。這與上面Kogelnik文獻中描述的 "n0" 相同。
dn: 折射率的調變。這與Kogelnik文獻中描述的 "n1" 相同。
Shrinkage: 顯影後全像的厚度變化。如果它是 0（預設值），則沒有收縮。如果不是0，則代表對厚度的縮放值。例如，0.98表示收縮率為2%。
Index Shift: 全像的平均折射率在顯影後的變化。
Consider Fresnel?: 如果設置為1，則考慮菲涅爾損失。將此設置為0則關閉對菲涅爾損失的考慮。如果用戶想用自己的代碼來驗證計算結果，這很有用。

注意當材料是MIRROR時，你應該在體積全像表面增加一個鍍膜I.0，當材料不是MIRROR時，應該增加一個鍍膜I.99999999（八個9）。全像表面假設沒有鍍膜，模型中內部考慮了菲涅爾損失的影響。

圖 6. 鏡頭數據編輯器中的材料和鍍膜參數。

如何在非序列模式下進行設置

在本節中，我們將介紹如何在非序列模式下設置全像。同時也會討論需要注意的事項。

要在非序列模式中添加一個體積全像。我們可以使用繞射光柵(Diffraction Grating)或User Defined Object 並選擇 DiffractionGrating.dll。目前此DLL不支持其他繞射對象，其假設繞射面在XY平面。

當全像膠片的形狀為圓形時使用繞射光柵，當全像膠片的形狀為矩形時使用User Defined Object 加上DiffractionGrating.dll。如果全像膜的形狀既不是圓形也不是矩形，則可以使用對象Boolean Native或Boolean CAD組合，再加上物件Extruded，就可以構建任意所需的形狀。

在Object Properties...Diffraction中，我們添加了DLL hologram_kogelnik.dll。每個參數的含義與序列模式相同。反射部分和穿透部分的參數總是相同的。對於這個 DLL，我們必須將 Start Order 設置為 0，Stop Order 設置為 1，理由在前面理論假設部分有說明。

還有一個參數 "Ig. Geo．Err."，只有在非序列模式下才會顯示。如果這個參數被設置為非零，當繞射光束不存在時，DLL將不會返回幾何錯誤。當光線在遠離布拉格的條件下擊中全像時，可能會發生這種情況。

請注意 " Ig. Geo．Err."這個參數是針對非序列DLL的。如果這個參數設置為1，當DLL返回任何幾何錯誤時，DLL將顯示更多的訊息。這對測試系統很有用，可以知道為什麼會發生幾何錯誤。該訊息只對DLL檢測到的第一個幾何錯誤顯示一次。如果要對任何進一步的幾何錯誤顯示更多信息，請將此參數設置為0，然後再設置為1。

圖 7. 使用者自訂物件的繞射設定。

當使用這個全像DLL，繞射面(Face 1)上的鍍膜應該始終為None。

圖 8. 使用者自訂物件的鍍膜設定。

必須勾選 “Split NSC Rays”，這樣繞射DLL才會執行。

圖 9. 在光線追跡和NSC3D布局圖中勾選“Split NSC Rays”。

如前面所述，全像總是被認為是無限薄的。光線和全像之間的所有相互作用只發生在面1，也就是繞射面，並由它來處理。

圖 10: 布局中所看到的全像。

提示:您可以編寫一個ZPL來填充MCE中的所有參數，並在Reflect和Transmit之間取值，附件中提供了ZPL的範例。

圖 11: ZPL 提取參數到多重結構編輯器。

常見問題

在本節中，我們將討論一些常見問題。

關於全像兩邊環境的折射率

當全像外的折射率改變時，全像的行為是不同的。例如，在下圖中（圖12），我們在左邊和右邊有完全相同的全像片，但可以看到它們向不同方向繞射光線。左邊的全像片是漂浮在空氣中的，而右手邊的全像片是貼在玻璃上的。可以看到，在兩種不同情況下，光線會繞射到不同的角度。因此，檢查全像兩邊的材料是否設置正確是很重要的事。

圖 12. 空氣和玻璃中的全像片。

關於參數n1和n2

參數 n1 和 n2 代表全像外材料的折射率，n1是建構光1看到的折射率，n2是建構光2看到的折射率。如果在建構階段，兩道建構光束來自不同側，那麼 n1 和 n2 可能會有所不同，如下圖所示。

圖 13. 兩道建構光束來自不同側。

另一方面，在建構階段，如果兩道建構光束來自同一側，那麼 n1 將與 n2 相同，如下圖所示。

圖 14. 兩道建構光束來自同側

如果您不確定 "建構光束" 的定義，請參見 "如何在OpticStudio中建模全息图" 了解更多信息。

請注意，如果 n1 和 n2 設置不正確，全像的行為將不正確。這跟我們在現實世界中如何建構全像有關。例如，在錄製全像的時候，我們可能會在全像的一邊放上一個棱鏡，然後在回放的時候把棱鏡去掉，如下圖所示。在這種情況下，n1 和 n2 應設置為棱鏡和波導的折射率。

圖 15. 建構和回放過程。

如果全像來自供應商怎麼辦?

有時候我們並不是真的自己製作全像，而是從供應商那裡購買的，所以我們可能並不了解它的所有細節。在這種情況下，我們可以用給定的規格建立一個假的建構系統。請看 "非序列範例3" 的例子。

關於繞射階數

在這裡的範例中，我們總是只有0階或1階繞射。

根據Kogelnik的理論，當一個波入射到全像光柵上時，假定只有兩個重要的出射光波存在。它們是直接通過的穿透波和繞射波。在OpticStudio的內建全像和實驗DLL中，我們總是將直接通過的波視為0階，而將繞射波視為1階。

因此，在非序列系統設置中，Start Order和Stop Order應該始終為0和1。不過其實我們也可以可以設置Start Order = Stop Order = 0或Start Order = Stop Order = 1。在這種情況下，意味著我們在模擬中有意忽略1階或0階。

序列模式範例 1

在這個範例中，我們演示了如何快速檢查全像上不同入射角的繞射效率。首先，我們打開附件中的native_vhg_kog_seq_example1.zar。在這個文件中，設計了一個全像，將45度的入射準直光束繞射和聚焦到遠處。

圖 16. 布局途中的全像範例。

建構系統的參數設置如下

圖 17. 鏡頭數據編輯器中的全像建構參數。

這意味著建構系統如下圖所示。請注意，我們是如何將光源1設置在非常遠的點（實際上是無窮遠）來模擬準直光束的。

圖 18. 系統的初始設置。

Hologram 2面假設一個建構光束收斂到一個建構點（光束2），另一個建構光束從另一個建構點（光束1）發散。然而，由於建構系統的互易性，這與光束1為收斂光源，光束2為發散光源的情況是等效的。在這種情況下，我們可以畫成如下圖。

圖 19. 以相反方向建立的同一系統。

如下圖所示，STOP設置在全像表面之前，厚度為零。這樣一來，我們就可以確保主光線總是擊中全像的中心。

圖 20. 鏡頭數據編輯器中的STOP位置。

在範例文件中，有一個效率與角度的對比圖，我們使用Kogelnik方法計算了與主光線入射角相關的繞射效率。在The Analyze Tab…Polarization and Surface Physics…Diffraction Efficiency…Efficiency vs. Angle 可以找到。設置如下圖所示。

圖 21. 效率與角度對比圖設定

請注意，入射光現的偏振狀態是在System Explorer...Polarization中定義的。在這個檔案中，我們設置 (Jx, Jy) = (1,0) 為TE偏振。

圖 22. 系統資源管理器下的偏振設置。

下圖顯示這一個分析工具的結果:

圖 23. 在效率與角度圖中，y軸代表繞射效率，x軸代表主光線入射角。

序列模式範例 2

我們來看一個更複雜的波導設計。首先，打開附件中的 native_vhg_kog_seq_example2.zar。在“Augmented Reality (AR) by hologram”中介紹了系統的設計方式。在這裡，我們主要分析考慮繞射效率與新功能的效果。

在這個文件中，建構光束1設置在一個非常遠的點（0，-1E8，-1.35E8）。這意味著它是一個沿向量（0，-0.6，-0.8）方向傳播的準直光束。建構光束2設置為（0，18.66，-45.12），這意味著它是一個匯聚光束，匯聚到點（0，18.66，-45.12）。

圖 24. 鏡頭數據編輯器和佈局圖中的系統初始設置。

兩個建構光束的波長為0.55 µm。在建構過程中，全像兩側的材料都是壓克力，因此我們將n1 = n2 = 1.493581（壓克力在波長0.55 µm時的折射率)。

圖 25. 鏡頭數據編輯器中全像的參數。

此檔案中有兩個圖像模擬分析。它們具有相同的設置，但其中一個已勾選“使用偏振 (Use Polarization)”，而另一個未勾選。

圖 26. 圖像模擬中的設置。

為了查看考慮全像繞射效率的效果，必須勾選“使用偏振”。我們可以在以下圖像中清楚地看到效果。勾選“使用偏振”時，模擬圖像的頂部和底部邊緣較暗。

圖 27. 圖像模擬 analysis。

非序列模式範例 1

本範例與序列範例1類似，只是我們在非序列模式下分析。系統保存在附件vhg_kog_nsc_example1.zar中。在這個檔案中，全像是由一個User Defined Object 讀取 DiffractionGrating.DLL設置的。這個用戶定義物件DLL允許其面1為繞射面。

設置如下。注意，我们應該将起始階數設置为0，停止階數設置为1，因为我們使用的理論只考慮两個耦合波。

圖 28. 用戶定義物件的繞射設置。

為了計算繞射效率，添加了一個Detector Polar以接收繞射光線。

圖 29. 整個系統的佈局圖。

在優化函數中，計算繞射效率並使用操作數NSDP報告（圖30）：

圖 30. 優化函數編輯器

Universal Plot顯示優化函數作為光源入射角的函數

圖 31. Universal Plot 設置

Universal Plot 的結果如下圖。

圖 32. 在Universal Plot中，Y軸代表優化函數數值，X軸代表光線入射角。

非序列模式範例 2

本範例與序列範例2中分析的系統類似。不同的是我們在非序列模式下重建系統，進一步優化系統以達到圖像照度均勻，並增加兩個全像光柵，使其支援彩色結果。系統附件檔案為vhg_kog_nsc_example2.zar。

在下圖中，可以清楚地看到3個全像物件（物件10、11、12）在波導上的堆疊情況。這些全像除了建構光束的波長（參數Wave）和相應的折射率（n1和n2））外，其他參數都是一樣的。

請注意，我們仔細考慮了嵌套規則( nest rule)，因此在兩個全像之間或全像和波導之間的每個邊界，在兩個面重疊的地方，光線都可以正確看到繞射面。在這個檔案中，物件10、11、12的繞射面都在靠近波導的一側。換句話說，在-z側。

圖 33. 系統布局圖和三個全像物件的細節

關於嵌套規則的更多訊息，請參見以下兩篇參考文獻。

“Improving non-sequential ray tracing speeds with nested and Boolean objects”
OpticStudio Help file > The Setup Tab > Editors Group (Setup Tab) > Non-sequential Component Editor > Non-sequential Overview > Object Placement > section “Nesting surfaces”

關於這個例子的更多討論可以在參考文獻[3]中找到。模擬圖像如下圖所示，可以看到折射率偏移或全像收縮對圖像的影響。

圖 34. 多色設計的圖像模擬和系統的三維陰影模型。

非序列模式範例 3

在這個例子中，我們假設全像不是我們自己製作的而是買的。假設供應商提供了以下規格。

全像類型: 穿透
設計波長: 632 nm
輸入角度: 30 度
輸出角度: 7 度
厚度: 7 mm
平均折射率: 1.5
調變折射率: 0.00005
該元件被設計用於: 空氣中

由於我們不知道全像的具體製作方法，所以我們需要根據給定的規格，用一個虛擬的建構系統來建構它。

要做到這一點，首先，我們需要將輸入和輸出角度轉換為向量，如下圖35所示，這樣我們才能正確定義系統。

注意，如果需要的話，y軸可以用x軸代替。這要看系統中全像物件如何放置和旋轉會更為方便。但是，z軸不能用其他軸代替，因為DLL模型假設全像表面在XY平面。

圖 35 YZ平面上的入射與出射向量。

F根據規格和上圖，我們可以計算出v_in向量為（0，-sin（7deg），-cos（7deg）），v_out向量為（0，-sin（30deg），-cos（30deg））。因此，建構光束的參數可以設置如下:

Holotype = 1
X1 = 0
Y1 = 1E9*(-sin(7 deg)) = -0.121869E9
Z1 = 1E9*(-cos(7 deg)) = -0.992546E9
X2 = 0
Y2 = 1E9*(-sin(30 deg)) = -0.5E9
Z2 = 1E9*(-cos(30 deg)) = -0.866025E9

以上計算中乘上1E9代表無限大，用來設定準直建構光束。

需要注意的是，如果 Holotype 設置為2，則（X1，Y1，Z1）或（X2，Y2，Z2）其中一個需要乘以-1。

對於其餘的參數，我們可以直接從數據表中獲取。它們如下。

波長 = 0.633 µm
厚度 = 7 mm
調變折射率 = 0.00005
全像折射率 = 1.5

對於最後兩個參數，其數值取決於全像的設計使用方式。在這個範例中，從規格書中我們知道全像應該是在空氣中使用，而不是附加在任何基板上。因此，我們設置n1 和n2如下:

n1 = 1.0
n2 = 1.0

最後的設置和結果如下圖所示，也可以在附件檔案vhg_kog_nsc_example2.zar.中查看。

圖 36. DLL的參數可以在多重結構編輯器中展開。

圖 37. 在Universal Plot中，y軸表示優化函數的數值，x軸表示光線入射角。

值得提一下的是，在這個文件中，當替換Universal Plot時，我們使用了一個技巧；開始和停止階數都被設置為1，所以我們可以強制DLL只考慮1階繞射光線，而忽略0階直接穿透的光線。這個技巧有助於在Universal Plot中只看到單階的繞射效率。

圖 38.如果我們將起始階數設置為0，停止階數設置為1，那麼0階和1階光線都會被追跡，如圖所示。

参考资料

Kogelnik, H., "Coupled wave theory for thick hologram gratings, " Bell Syst. Tech. J. 48, 2909-2947 (1969).
Bjelkhagen, H. and Brotherton-Ratcliffe, D., Ultra-realistic imaging: advanced techniques in analogue and digital colour holography. CRC press, 2016.
Han-Hsiang Cheng, Xiaochaoran Tian, "An advanced ray-tracing model for multi-color holographic optical elements," Proc. SPIE 11188, Holography, Diffractive Optics, and Applications IX, 1118817 (18 November 2019); https://doi.org/10.1117/12.2537762

KA-01893

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