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この記事では、レンズの公差解析プロセス全体についてその概要を説明します。公差解析を初めて経験する方に、公差解析の分野で最初に目を通していただきたい記事です。
詳細については、KnowledgebaseのTolerancingカテゴリとヘルプファイルを参照してください。
著者 Mark Nicholson
Introduction
公差解析は、製造上の不具合と調整誤差の影響を検討するプロセスです。この記事はプロセス全体の概要を取り上げたものであり、このプロセスに初めて臨むユーザーが、プロセスを理解するために最初に目を通す資料です。具体的なアドバイスを掲載したナレッジ ベースが別途用意されています。
はじめに
大量生産を目的としたレーザー ビーム エクスパンダを設計すると仮定します。1/e2 の全幅が 2.5 mm のアルゴンイオン レーザー ビームを 3 倍に拡大し、そこで発生する RMS 波面収差がビーム全幅 2 つ分にわたって (つまり、合計ビーム直径 5 mm の範囲で測定) 1/20 RMS を超えないようにします。
このファイルは記事添付ファイルに「Beam Expander.zmx」として保存されており、以下に示す 2 つの平凸レンズを使用します。
以下のように、この光学系の公称性能は、量産で求められる性能を大幅に上回っています。
この図の最大スケールは 0.01 波長なので、OPD 誤差のピーク バレー値は 1/200 波長未満です。デフォルトの波面評価関数を作成して求められる RMS 波面収差は 2.15 x 10-3 波長で、OPD プロットの目視検査で想定される波長より少なくなります。なお、この光学系のアパチャー定義ではガウス アポダイゼーションを使用しています。入射瞳径は 5 mm で、アポダイゼーション ファクタとして 2 を使用しているので、瞳のエッジではビーム強度がピーク強度の 1/e4 = 1.8% まで減少します。
この理由から、製造する光学系の仕様がきわめて重要になります。1/e2 直径が 5 mm のレーザー ビームで照射されたこの光学系の RMS OPD (約 2 x 10-3 波長) は、均一に照射された同じ光学系の RMS OPD (約 3 x 10-3 波長) と異なります。これは、瞳のエッジで球面収差が急激に変化することに起因していますが、ガウス照明では、この点が均一照明ほど重要ではありません。
次に、製造公差がこの光学系の性能に及ぼす影響について検討します。
製造公差
公差解析とは、設計で目的としてきた仕様を、製造した製品で実現できるように、製造誤差を考慮する作業です。公差解析を正しく実行するには、レンズの製造で採用されている製造方法とテスト方法を把握して、製造プロセスのモデルと現実との一致を図るようにする必要があります。
レンズの製造とテストにはさまざまな方法を使用しますが、Zemax OpticStudio にはこれらの方法をすべてモデル化する手段が用意されています。この例では、伝統的な手磨きの方法でレンズを製造することを想定し、さらにこの後で述べる想定を適用します。
製造公差は、公差解析ウィザードで [公差] (Tolerance) タブを使用して入力します。公差解析ウィザードでは光学系全体にわたる公差を入力できますが、その内容は後で必要に応じて手動で編集できます。
「面」の公差は、光学面自体に設定する公差で、半径やイレギュラリティなどがあります。「エレメント」の公差は、光学系に配置したエレメントの位置に対して設定する公差です。
この公差解析の開始に際して選択するデフォルトの公差は以下のとおりです。
曲率半径の公差を測定するには、レンズ原器を使用して、ダブルパスによって発生する干渉縞を観察します (使用する光源は He-Ne)。これは広く使用されている製造テスト方法です。半径の公差を干渉縞数で測定し、テスト対象の面とレンズ原器との間に許容する干渉縞数の差を 1 とします。
この測定では He-Ne の波長を使用するので、テスト波長を 0.6328 に設定します。これは、この光学系で実際に運用する波長 (0.5145 ミクロンの Ar+ 線) ではなく、「面のテストに使用する波長」です。
中央の厚みに対するデフォルトの公差は 0.2 mm です。また、レンズの取り付け方法も考慮する必要がありますが、これについては後ほど詳しく説明します。
続いて、Zemax OpticStudio を使用して面のディセンタとティルトを入力できます。ここでは一定の注意が必要です。非球面には、互いに独立したディセンタとティルトを設定できます。たとえば、放物面ミラーでは回転対称軸が 1 本のみなので、ディセンタとティルトを互いに独立して設定できます。一方、球面には対称軸が無数にあるので、ティルトとディセンタの間には相互に依存性があります。
レンズの製造では、真空チャックでレンズを保持し、レンズを回転してそのウェッジを測定することが普通です。この測定には 2 つの方法があります。その 1 つでは、レンズの中心にレーザー ビームを照射して離れた壁にビームを投映し、レンズの回転に伴うビームの歳差運動を観測します。もう 1 つの方法では、ダイヤル ゲージを使用して、レンズの回転に伴うレンズのエッジ厚の変動を測定します。この測定後、いずれかの変動が最小になるようにレンズの中心とエッジの位置を調整します。
ここの例では、製造現場でエッジ厚の変動をテスト方法として採用しているものとします。x 軸と y 軸の両方に最大のティルトとして 0.2 mm を入力して、半径方向の最大ティルトが SQRT(0.22 + 0.22) = 0.28 mm になるようにしています。
面のイレギュラリティは、球面収差と非点収差の合計として定義できるほか (一般的にはレンズ原器の干渉図形が「眼球型」である場合)、ゼルニケ係数を使用して定義することもできます (干渉計を使用して測定する場合)。ここの例では、「眼球」の手法を使用し、当初の面のイレギュラリティを 1/5 に設定します。
エレメントの公差は、光学系の「機械軸」を基準としたエレメント位置の偏差です。
屈折率の公差は、使用するガラスの実際の屈折率とカタログ値との差異です。この設計で使用する波長は 1 つのみなので、アッベ数の公差は不要であり、屈折率そのものの公差解析のみを実行します。
Zemax OpticStudio には、後方焦点コンペンセータを作成する機能も用意されています。このレンズはアフォーカルであり、この機能は不要であることからチェックを外してあります。[OK] (OK) ボタンをクリックすると、上記の各デフォルト公差が作成されます。
次のセクションでは、機械的な取り付けと補償について説明します。
機械的な取り付けと補償
両方のレンズが平凸なので、各レンズの平坦面を取り付け面と想定することが妥当です。取り付け面は、レンズ マウントで保持される面です。また、レンズ間隔である 200 mm は組み立て時および使用中に調整可能であるとします。これにより、たとえばビーム エクスパンダをさまざまな波長で使用できます。ここからいくつかの重要な結果が導かれます。
面 2 と面 3 で構成したレンズを考えます。面 3 が平坦なので、この面をレンズ マウントに配置します。その結果、面 2 は、それに指定された TIRX と TIRY の値に応じて面 3 を基準としたウェッジを形成します。面 3 で同様に TIRX, TIRY を指定することはできないので、これらの値は削除する必要があります。
面 4 と面 5 で構成したレンズについても同様で、面 4 が平坦なのでマウントによる保持面となります。面 5 は面 4 を基準としてウェッジを形成するので、面 4 の TIRX と TIRY は削除する必要があります。厚みの公差は、公差解析の対象となる面のみでなく、他の面にも影響します。
厚みはコンポーネント間で z 方向に設定するシフト量であることから、取り付けの配置に応じて厚みの公差が累積されることを考慮する必要があります。最初のレンズはその後面で保持されているので、公差解析で厚みが厚くなると、レンズは「逆方向」に伸び、光学系の合計長が増加します。
ここで TTHI (厚み) の公差を使用して、厚みの変動に対応する「調整面」を指定できます。たとえば、レンズをその前面で保持している場合は、公差解析で厚みが厚くなると、レンズ間の 200 mm の空隙にレンズが突き出すことになり、この 200 mm の厚みが少し減少します。Zemax OpticStudio では、[調整] (Adjust) の設定でこの変動が考慮されます。
デフォルト公差ツールでは、どのガラスの厚みでも、それが変更されると、それに続く空気の厚みで変動分を補償することを想定しています。つまり、基本的にレンズはその前面で保持することが前提です。この調整はオプションです。調整を無効にするには、調整対象とする面の番号を公差解析対象の面の番号と同じにします。たとえば、TTHI 2 2 にします。ここの例では、どのガラスの厚みも他の厚みで補償しないようにするので、この補償機能を無効にします。
さらに、面 1 と面 5 は光学系への光の入射と射出の位置を示しているにすぎないので、これらの面の厚みは性能に無関係です。これらの公差は削除してもかまいません。
面 3 の厚み (レンズ間の 200 mm の空隙) は、組み立て時または使用中に波面収差が最小になるように調整できるので、コンペンセータとして使用することにします。公差解析の対象とはしないので、面 3 の TTHI は削除してもかまいません。代わりに、面 3 の厚みに以下のようにコンペンセータを定義する必要があります。
ここでは、範囲 -0.2 ～ +0.2 mm の厚みコンペンセータを定義しています。
このファイルは、記事添付ファイルに「Beam Expander Ready for Tolerancing.zmx」として保存されています。
公差解析設定のテスト
この手順は見過ごされがちです。公差を正しく設定しているかどうかをテストすることは重要です。このために、モンテカルロ ファイルをいくつか作成し、その動作を検討します。
[公差解析] (Tolerancing) タブ → [公差解析] (Tolerancing) をクリックして、[公差解析] (Tolerancing) ダイアログ ボックスを開きます。[リセット] (Reset) ボタンをクリックして、このダイアログのデフォルト設定を復元し、以下のように設定します (変更する設定のみを強調表示しています)。
これにより、Zemax OpticStudio ではモンテカルロ ファイルのみが作成されます。これらのファイルには、「MC_Txxxx」の前に「test」が付加されたファイル名が割り当てられます (xxxx はファイル番号)。公差解析を実行し、いずれかの MC ファイルを開くと、以下のような画面が表示されます (各数値はランダムなので実際とは異なります)。(公差解析を実行すると、[公差解析の前にソルブを取り除く必要があります。半径は固定される必要があります。] (Solves should be removed prior to tolerancing. Semi-diameter should be fixed) という警告メッセージが表示されます。本来は、このとおりの操作を実行する必要がありますが、ここの例では、このメッセージを無視します。)
Zemax OpticStudio による実行結果を確認します。エレメントのティルトとディセンタを実装するために、エレメントの公差 (TE** オペランド) は座標ブレークに変換されています。面のティルトとイレギュラリティを考慮できるように、これまでの STANDARD 面タイプは IRREGULAR 面タイプに変換されています。厚み、半径、ガラス タイプなどの各種のレンズ データは公称値から変更されています。レンズを分離している厚みは変数になり、評価関数が定義されています。
この段階で、ここまでに指定したすべての変更を把握していて、問題がないことを確認するために、モンテカルロ ファイルを慎重に検討する必要があります。
[セットアップ] (Set-Up) タブ
元の Beam Expander.zmx ファイルを再び開き、最大スケールを 0.1 波長に設定した OPD プロットを開きます。スケーリングが自動的に実行されないように、[プロット スケール] (Plot Scale) 設定でスケーリングが手動設定になっていることを確認します。
この後で、モンテカルロ機能と組み合わせてスケーリングを使用します。次に、[公差解析] (Tolerancing) ダイアログ ボックスを再び開きます。[リセット] (RESET) をクリックして、これまでの変更を元に戻し、デフォルト設定を復元します。
[セットアップ] (Set-Up) タブは以下のように表示されます。
[モード] (Mode) 設定では、公差解析を以下のように制御します。
[感度] (Sensitivity) を指定すると、公差の上下限値で公差解析基準 (評価関数) に発生する変化が計算されます。公差解析基準は、次の [基準] (Criterion) タブで定義します。
[逆感度解析 (限界)] (Inverse Limit) を指定すると、[基準] (Criterion) タブの [限界] (Limit) パラメータで指定した値に等しい基準値が得られる公差値が計算されます。逆感度解析モードでは、公差解析オペランドの最小値と最大値が変更されます。
[逆感度解析 (増分)] (Inverse Increment) を指定すると、[基準] (Criterion) タブの [増分] (Increment) パラメータで指定した値に等しい変化が基準値に現れる公差値が計算されます。逆感度解析モードでは、公差解析オペランドの最小値と最大値が変更されます。
[感度をスキップ] (Skip Sensitivity) を指定すると、感度解析が省略されてモンテカルロ解析に進みます。
この記事では、このダイアログ ボックスの他のパラメータについては説明しません。詳しくは、ヘルプ ファイルを参照してください。
この記事では、[モード] (Mode) として [感度] (Sensitivity) を選択して [基準] (Criterion) タブに進みます。
[基準] (Criterion) タブ
[基準] (Criterion) タブを使用して、公差解析で使用する最小感度を定義します。この設定は最適化評価関数に関連していることが普通ですが、最適化関数と同じわけではありません。
公差解析基準は、光学的な要素のみで構成されていることが普通です (一方、最適化評価関数には、満たす必要がある境界条件を多数記述できます)。便宜性を考慮して、Zemax OpticStudio には、広く使用される公差解析基準がドロップダウン リストの選択項目としていくつか用意されています。たとえば、以下のようなパラメータがあります。
- スポット半径
- 波面収差
- MTF
- 照準誤差
- 角半径
選択したパラメータは最終的に評価関数として表現されます。また、必要に応じて評価関数に独自の公差解析基準を作成して使用することもできます。
この記事では、このタブを以下のように設定します。
製造する光学系の RMS 波面収差が 1/20 波長 (0.05 波長) 未満になるようにする必要があります。したがって、RMS 波面収差を公差解析基準として使用し、DLS 最適化機能を使用してレンズ間の距離を最適化します。最適化は 3 サイクルのみ実行します。工場ではこのレンズ間の距離を十分には調整できないことから、3 サイクルの最適化で十分です。
[モンテカルロ] (Monte Carlo) タブ
感度解析および逆感度解析とは異なり、モンテカルロ解析では、すべての変動の効果を同時にシミュレーションします。モンテカルロ サイクルごとに、公差値が設定されたすべてのパラメータがランダムに設定されます。その設定では、パラメータに定義された値の範囲、およびその範囲にわたるパラメータ値の分布を示す統計モデルが使用されます。また、デフォルトでは、すべてのパラメータが同じ正規分布に従うものと想定しています。正規分布では、上下限値間の全幅が標準偏差の 4 倍に相当します。
このデフォルト モデルは、STAT コマンドを使用して変更できますが、この操作についてはこの記事では取り上げません。この記事では、[モンテカルロ] (Monte Carlo) タブを以下のように設定します。
[モンテカルロ解析のグラフィック オーバーレイ] (Overlay Monte Carlo Graphics) コントロールが自動的に更新され、開いているグラフィック ウィンドウにモンテカルロの実行結果がオーバーレイ表示されます。この機能は、目的とする良好な設計に近い結果が公差解析で示されているかどうかを判断する手段としてきわめて効果的です。
[表示] (Display) タブ
[表示] (Display) タブは公差解析の計算に影響せず、公差解析レポートに表示されるデータ量を定義するだけです。ここで次のように設定します。
設定した後、[OK] (OK) をクリックして公差解析を実行します。
最初の公差解析の実行
モンテカルロ解析のグラフィックをオーバーレイ表示するように選択して、デスクトップ上で OPD プロットを開いていると、20 個のモンテカルロ ファイルに記録された OPD の解析結果を明確に確認できます。解析結果は、0.05 波長 (1/20 波長) の RMS という性能目標値には遠く及んでいません。
感度解析を実行している Zemax OpticStudio では、公称光学系の公差解析基準を測定して最初の公差が取得されます。その公差を最小値として設定してコンペンセータを調整し、公差解析基準値が報告されています。さらに、この公差値を最大値として設定して同様の処理が実行されます。続いて、それぞれの公差を順番にステップスルーして、それぞれの公差に対する公差解析基準の感度が計算されます。この結果、以下のレポートが得られます。
公称光学系の公差基準は 0.0023 (1/400) になっています。生産では、RMS 波面収差が 1/20 波長 (0.05 波長) 未満になる必要があります。なお、公差によっては、この生産時の要件が満たされないものがあります。たとえば、2 番目のレンズの屈折率に対する公差のみに起因して、コンペンセータの調整後に RMS 波面収差が 0.058 波長に悪化します。個々の公差をすべて計算した後、さまざまな統計計算が実行されます。その中で最も重要なものは、基準に予想される変化とその変化に伴って予想される性能の計算です。Zemax OpticStudio では、性能に予想される変化の計算に根二乗和 (RSS) の前提が使用されます。性能に発生した公称値からの変化が公差ごとに二乗され、最小公差値と最大公差値の間での平均値が計算されます。変化が、最小値と最大値を二乗した後の平均値として取得される理由は、最小公差と最大公差の両方が同時に発生することはないからです。そのため、二乗値を加算するだけでは、過度に消極的な予測になってしまいます。続いて最終予測、つまり製造完了時の性能が計算されます。この光学系の場合、RSS 計算で予測される性能は、ここでの仕様である 0.05 波長に対して 0.0597 波長です。モンテカルロ解析による結果と大筋で一致しています。
なお、サンプル数は 20 にすぎないことから、これはごく概算的な評価です。RMS 波面収差が 0.05 波長を下回るレンズの推定の歩留まりは 80% 未満です。
この歩留まりを改善するには、いくつかの公差を厳しくする必要があることが明らかです。必要に応じて、公差を手動で設定して感度解析を再実行できます。また、Zemax OpticStudio の逆感度公差解析プロセスで、公差を自動的に厳しくすることもできます。
逆感度解析
感度解析モードでは、公差を取得して性能の低下を予測します。逆感度解析モードでは、評価関数の目標値に対する増分を指定し、その目標値が得られる公差を求めます。次のように公差解析を[セットアップ] (Set-Up) タブで設定します。
[基準] (Criterion) タブでは、[限界] (Limit) ボックスが有効になっています。[確認] (Check) ボタンをクリックして、公称光学系の公差解析基準を取得します。
目標値としてたとえば 0.0075 を入力することにより、それぞれの公差によって公差解析基準が 1/130 を超えて悪化しないようにします。
その他の設定はすべて固定のままにして、公差解析を再実行します。根二乗和の結果、性能が大幅に改善されたことがわかります。
この点は、モンテカルロ結果でもわかります。
なお、モンテカルロ ファイル数が 20 では不十分です。n 個の公差がある場合、確率分布を十分にサンプル化するには、概算で n2 個以上のモンテカルロ ファイルが必要です。公差の数は 24 なので、242 = 576 個以上のモンテカルロ ファイルが必要です。1000 個のモンテカルロ サンプルの実行を選択すると以下の結果が得られます。
逆公差解析の結果、不当に厳しい公差は存在しないことが公差の検討によって示されました。
また、CPU を 8 個搭載した著者のマシンで、1000 個のモンテカルロ ファイルの実行に要した時間はわずか 18 秒でした。Zemax OpticStudio では、変動要素を設定したレンズによって発生する波面に公差が及ぼす影響を推定するために、1 次近似などの近似を使用しません。それぞれの評価関数で、レンズの波面収差が十分な精度で計算されます。